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楼主: plr

【奥数第4题】2015年4月14日

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 楼主| 发表于 2015-4-14 16:02:02 | 显示全部楼层
好了,下面公布答案了。数学问题是从生活中抽象出来的, 要应用于实际总是有简化的地
方的。


我们来证明一个更加一般的结论:


化学实验室有n(n>1)个相同的带刻度的烧杯,分别装了n种等量(接近装满)但浓度互不相
同的NaCl溶液,还有一个相同的烧杯空着。可以经过有限次混合操作,得到n+1杯浓度相
同的NaCl溶液。


下面通过数学归纳法证明:
(1) 当n=2时,不妨设为


    A(装满)   B(装满)   T(空的)


那么, 先将B中的一半倒入T中, 再将A的一半倒入B, 另一半倒入T中,得到


    A(空的)   B(装满)   T(装满)


此时,B和T的浓度相同,只需将B和T各倒1/3给A即可。


(2)假设当n=k(k>1,k为自然数)时,题中结论成立,则当n=k+1时,如下


  A_1(满),  A_2(满),  ..., A_k(满),A_k+1(满), T(空)


那么, 先把A_1, A_2, ..., A_k, T 等分成浓度相同,即


A_1, A_2, ..., A_k, T (全都装了k/k+1, 且浓度相同)


下一步将用 A_k+1 将上述k+1个烧杯加满, 显然浓度都相同。然后再将上述 k+1 个烧杯各
倒回一杯的 1/k+2 给 A_k+1. 此时得到的k+2个烧杯也就浓度相同了。


即所证命题当n=k时成立的话, 必有n=k+1也成立。


综合(1)(2)可知, 对一切 n>1,n为自然数,题中结论都成立。
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发表于 2015-4-14 16:04:26 | 显示全部楼层
回复 32# plr
还是没摆脱sg说的刻度不准问题。
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发表于 2015-4-14 16:11:58 | 显示全部楼层
化学实验室有n(n>1)个相同的带刻度的烧杯,分别装了n种等量(接近装满)但浓度互不相
同的NaCl溶液,还有一个相同的烧杯空着。可以经过有限次混合操作,得到n+1杯浓度相
同的NaCl溶液。

把前n个烧杯各倒1/n到第n+1杯里,则第n+1杯里的溶液浓度与所有溶液混合后的浓度相同。然后把第n杯平分到前面n-1杯里,就变成了n-1个满杯,1个空杯,依照类似的方法,把第n杯灌满得到平均浓度的溶液。依此类推,最后得到n杯平均浓度的溶液,再分装到n+1杯里。
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 楼主| 发表于 2015-4-14 16:12:32 | 显示全部楼层
回复 33# all
我不是解释了么? 做数学时一般情况不考虑这个的, 那是物理和化学考虑的。 数学只考虑理论的可行性。国外不是还有把一头牛分成1/7什么的么?
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发表于 2015-4-14 16:13:04 | 显示全部楼层
回复 33# all


    刻度问题只是解决工艺问题,不考虑刻度就是实验室里面,怎么操作都行,这种情况下all和我的办法是两种解决问题方法,在实际工艺问题上就看谁适合了。
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 楼主| 发表于 2015-4-14 16:18:40 | 显示全部楼层
回复 36# seagate

我的方法是不考虑操作过程, 只考虑理论可行的, 呵呵
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