好了,下面公布答案了。数学问题是从生活中抽象出来的, 要应用于实际总是有简化的地
方的。
我们来证明一个更加一般的结论:
化学实验室有n(n>1)个相同的带刻度的烧杯,分别装了n种等量(接近装满)但浓度互不相
同的NaCl溶液,还有一个相同的烧杯空着。可以经过有限次混合操作,得到n+1杯浓度相
同的NaCl溶液。
下面通过数学归纳法证明:
(1) 当n=2时,不妨设为
A(装满) B(装满) T(空的)
那么, 先将B中的一半倒入T中, 再将A的一半倒入B, 另一半倒入T中,得到
A(空的) B(装满) T(装满)
此时,B和T的浓度相同,只需将B和T各倒1/3给A即可。
(2)假设当n=k(k>1,k为自然数)时,题中结论成立,则当n=k+1时,如下
A_1(满), A_2(满), ..., A_k(满),A_k+1(满), T(空)
那么, 先把A_1, A_2, ..., A_k, T 等分成浓度相同,即
A_1, A_2, ..., A_k, T (全都装了k/k+1, 且浓度相同)
下一步将用 A_k+1 将上述k+1个烧杯加满, 显然浓度都相同。然后再将上述 k+1 个烧杯各
倒回一杯的 1/k+2 给 A_k+1. 此时得到的k+2个烧杯也就浓度相同了。
即所证命题当n=k时成立的话, 必有n=k+1也成立。
综合(1)(2)可知, 对一切 n>1,n为自然数,题中结论都成立。 |