【奥数第4题】2015年4月14日

plr

好了，下面公布答案了。数学问题是从生活中抽象出来的， 要应用于实际总是有简化的地
方的。


我们来证明一个更加一般的结论：


化学实验室有n(n>1)个相同的带刻度的烧杯，分别装了n种等量(接近装满)但浓度互不相
同的NaCl溶液，还有一个相同的烧杯空着。可以经过有限次混合操作，得到n+1杯浓度相
同的NaCl溶液。


下面通过数学归纳法证明：
（1） 当n=2时，不妨设为


    A（装满）   B（装满）   T（空的）


那么， 先将B中的一半倒入T中， 再将A的一半倒入B， 另一半倒入T中，得到


    A（空的）   B（装满）   T（装满）


此时，B和T的浓度相同，只需将B和T各倒1/3给A即可。


（2）假设当n=k(k>1，k为自然数)时，题中结论成立，则当n=k+1时，如下


  A_1(满)，  A_2(满)，  ...， A_k(满)，A_k+1(满)， T（空）


那么， 先把A_1, A_2, ..., A_k, T 等分成浓度相同，即


A_1, A_2, ..., A_k, T (全都装了k/k+1, 且浓度相同)


下一步将用 A_k+1 将上述k+1个烧杯加满， 显然浓度都相同。然后再将上述 k+1 个烧杯各
倒回一杯的 1/k+2 给 A_k+1. 此时得到的k+2个烧杯也就浓度相同了。


即所证命题当n=k时成立的话， 必有n=k+1也成立。


综合（1）（2）可知， 对一切 n>1，n为自然数，题中结论都成立。

all

回复 32# plr
还是没摆脱sg说的刻度不准问题。

all

化学实验室有n(n>1)个相同的带刻度的烧杯，分别装了n种等量(接近装满)但浓度互不相
同的NaCl溶液，还有一个相同的烧杯空着。可以经过有限次混合操作，得到n+1杯浓度相
同的NaCl溶液。

把前n个烧杯各倒1/n到第n+1杯里，则第n+1杯里的溶液浓度与所有溶液混合后的浓度相同。然后把第n杯平分到前面n-1杯里，就变成了n-1个满杯，1个空杯，依照类似的方法，把第n杯灌满得到平均浓度的溶液。依此类推，最后得到n杯平均浓度的溶液，再分装到n+1杯里。

plr

回复 33# all
我不是解释了么? 做数学时一般情况不考虑这个的， 那是物理和化学考虑的。 数学只考虑理论的可行性。国外不是还有把一头牛分成1/7什么的么？

seagate

回复 33# all


    刻度问题只是解决工艺问题，不考虑刻度就是实验室里面，怎么操作都行，这种情况下all和我的办法是两种解决问题方法，在实际工艺问题上就看谁适合了。

plr

回复 36# seagate

我的方法是不考虑操作过程， 只考虑理论可行的， 呵呵