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【奥数第5题】2015年4月15日

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发表于 2015-4-15 11:49:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 plr 于 2015-4-15 03:53 AM 编辑

今天来个简单点的计数的题,让不管离开高中多久的人都能做
(1)我们可以把一个正整数表示成若干个1或2的和, 比如对于数字5, 有
     5=1+1+1+1+1
     5=1+1+1+2
     5=1+1+2+1
     5=1+2+1+1
     5=2+1+1+1
     5=1+2+2
     5=2+1+2
     5=2+2+1
     即5有8种表示方法, 今天是15年4月15日,就问15有多少种表示方法吧?
(2)我们还可以把一个正整数表示成若干(可以是1个)个大于1的自然数的和,
比如对于数字8, 有
     8=2+2+2+2
     8=2+2+4
     8=2+4+2
     8=4+2+2
     8=2+3+3
     8=3+2+3
     8=3+3+2
     8=2+6
     8=3+5
     8=4+4
     8=5+3
     8=6+2
     8=8
    居然有13种之多,那么还是问数字15有多少种这样的表示方法呢?

【说明】 只是答案正确的, 每道+5金, 如果带清楚的解析过程的, 每道+10金吧

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发表于 2015-4-15 11:59:39 | 显示全部楼层
排列组合啊
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发表于 2015-4-15 12:03:50 | 显示全部楼层
(1)
1=1,共1种,
2=1+1
2=2,共2种,
3=1+1+1
3=1+2
3=2+1,共3种,
4=1+1+1+1
4=1+1+2
4=1+2+1
4=2+1+1
4=2+2,共5种,
5=,共8种,

1,2,3,5,8,居然还是类斐波那契数列。
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发表于 2015-4-15 12:09:53 | 显示全部楼层
(2)
2,1种,3,1种,4,2种,5,3种,6,5种,7,8种,8,13种,
1,1,2,3,5,8,13,斐波那契

老师是斐波那契的后代?
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 楼主| 发表于 2015-4-15 12:22:42 | 显示全部楼层
回复 4# all

all, 你这是不完全归纳法啊! 要证明 a_n+2 =  a_n+1 + a_n
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发表于 2015-4-15 12:37:24 | 显示全部楼层
我们高中老师说过:由观察法得。。。。。
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发表于 2015-4-15 14:33:25 | 显示全部楼层
(1)我们可以把一个正整数表示成若干个1或2的和:

令a(n)为把n表示成若干个1或2的和的种数,则a(1)=1,a(2)=2,a(3)=3,满足a(3)=a(2)+a(1),
下面证明对所有的n,a(n+2)=a(n+1)+a(n)都成立。
把n+2表示成若干个1或2的和,那么这若干个数的最后一个或者是1,或者是2。
当最后一个数是1时,前面若干个1或2的总和是n+1,总共有a(n+1)种表示方法;
当最后一个数是2时,前面若干个1或2的总和是n,总共有a(n)种表示方法;
因此a(n+2)=a(n+1)+a(n)。

评分

参与人数 1精华 +10 收起 理由
plr + 10 太棒了!

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 楼主| 发表于 2015-4-15 14:45:35 | 显示全部楼层
回复 7# all


    期待第2问
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发表于 2015-4-15 17:59:57 | 显示全部楼层
(2)我们还可以把一个正整数表示成若干(可以是1个)个大于1的自然数的和

令a(n)为把n表示成若干个大于1的数的和的种数,则a(2)=1,a(3)=1,a(4)=2,满足a(4)=a(3)+a(2),
下面证明对所有的n(n>=2),a(n+2)=a(n+1)+a(n)都成立。
把n+2表示成若干个大于1的数的和,那么这若干个数的最后一个或者是2,或者不是2(大于2)。
当最后一个数是2时,前面若干个数的总和是n,总共有a(n)种表示方法;
当最后一个数不是2(大于2)时,这最后一个数最小是3,最大是n+2,如果把每个表示法的最后一个数都减去1,那么所有的数加起来等于n+1,这时最后一个数最小是2,最大是n+1,刚好满足把n+1分成若干个大于1的自然数的条件,所以共有a(n+1)种表示法。
综上所述,对所有n(n>=2),都满足a(n+2)=a(n+1)+a(n)。

评分

参与人数 1精华 +10 收起 理由
plr + 10 哇! 都是标准答案啊

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