【奥数第7题】2015年4月17日

plr

从昨天开始一直到现在都有事， 没时间弄昨天的答案。稍后给出昨天题目的答案， 下面先给出的今天的问题。

求证：任何一个平面四边形， 都可以在内部添加若干线段， 使得四边形被分成9个区域， 且每个区域都是等腰三角形围成的。

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all

（1）任何一个四边形都可以分成2个三角形。
（2）任何一个三角形都可以分成2个直角三角形。=>任何一个四边形都可以分成4个直角三角形。
（3）任何一个直角三角形都可以分成2个或3个等腰三角形。=>把四边形中的1个直角三角形分成3个等腰三角形，其他3个各分成2个等腰三角形，共9个等腰三角形。

plr

回复 2# all

任何一个直角三角形都可以分成2个或3个等腰三角形。

这句话是什么意思？从上下文来看应该理解为
（1）任何一个直角三角形都可以分成2个等腰三角形。
（2）任何一个直角三角形都可以分成3个等腰三角形。
问题（1）好证， 问题（2）能证明吗？

all

回复 3# plr
就是这个意思。

xiaocao

回复 3# plr


把一个四边形分成2个三角形
把第一个三角形分成2个直角三角形
取中点和直角连线可以分成4个等腰三角形
把第二个三角形分成一个等腰三角形和一个三角形(只要在长边去一个和短边一样的线段相连就行了)
剩下的一个三角形，重复上面步骤分成4个等腰三角形
9个，搞定！

plr

回复 5# xiaocao

把一个四边形分成2个三角形
把第一个三角形分成2个直角三角形
取中点和直角连线可以分成4个等腰三角形
把第二个三角形分成一个等腰三角形和一个三角形(只要在长边去一个和短边一样的线段相连就行了)  （*）
剩下的一个三角形，重复上面步骤分成4个等腰三角形
9个，搞定！



哇，厉害！ 但是万一加（*）处分不成呢？

all

证明：
（1）任何一个四边形都可以分成2个三角形。
选3个顶点，组成一个三角形，如果第4个顶点位于三角形外，如图a分，如果位于三角形内，如图b分。
（2）任何一个三角形都可以分成2个直角三角形。=>任何一个四边形都可以分成4个直角三角形。
由三角形最大的角的顶点向对边做垂线，由于另外两个角都是锐角，因此一定能分成2个直角三角形，如图c。
（3）任何一个直角三角形都可以分成2个或3个等腰三角形。=>把四边形中的1个直角三角形分成3个等腰三角形，其他3个各分成2个等腰三角形，共9个等腰三角形。
分成2个等腰三角形：作一个直角边的垂直平分线，与斜边有一交点，连接该点和直角顶点，则可以分成2个等腰三角形，如图d。
分成3个等腰三角形：
    如果是等腰直角三角形，则按图e分成的2个三角形都是等腰直角三角形，把其中一个再分成2个等腰三角形即可。
    如果两直角边不等，那么作斜边的垂直平分线，则与长的直角边有一交点，如图f，可分成1个等腰三角形和1个直角三角形，再把直角三角形分成2个等腰三角形。